arnip.org Kazuhiro HISHINUMA, DSc.

1. Vector Spaces

Linear Algebra Done Right の章末問題答案

Exercises 1.A

1 \(1/(a+bi)\) が存在するならば、\(1/(a+bi)=(a-bi)/(a^2+b^2)=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\)。 実際、\((a+bi)(\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i)=\frac{1}{a^2+b^2}(a^2+abi-abi+b^2)=1\)

2 \((\frac{-1+\sqrt{3}i}{2})^3=\frac{1}{4}(1+\sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i)=1\)

3 \((a+bi)^2=a^2-b^2+2abi\) より、\(i\) の平方根\(a+bi\) は連立方程式\[\begin{cases}a^2=b^2,\\2ab=1\end{cases}\] の解である。 したがって、これを解くと\(\pm(\frac{\sqrt{2}}{2}1+\frac{\sqrt{2}}{2}i)\)

4 \(\alpha:=a+bi\), \(\beta:=c+di\) とする。 \[\begin{align*} (a+bi)+(c+di) &=(a+c)+(b+d)i \\ &=(c+a)+(d+b)i \\ &=(c+di)+(a+bi). \end{align*}\]

5 \(\alpha:=a+bi\), \(\beta:=c+di\), \(\lambda:=e+fi\) とする。 \[\begin{align*} \left((a+bi)+(c+di)\right)+(e+fi) &=(a+c)+(b+d)i+(e+fi) \\ &=(a+c+e)+(b+d+f)i \\ &=(a+bi)+(c+e)+(d+f)i \\ &=(a+bi)+\left((c+di)+(e+fi)\right). \end{align*}\]

6 \(\alpha:=a+bi\), \(\beta:=c+di\), \(\lambda:=e+fi\) とする。 \[\begin{align*} \left((a+bi)(c+di)\right)(e+fi) &=\left((ac-bd)+(ad+bc)i\right)(e+fi) \\ &=(ace-bde-adf-bcf)+(acf-bdf+ade+bce)i \\ &=(a+bi)\left((ce-df)+(de+cf)i\right) \\ &=(a+bi)\left((c+di)(e+fi)\right). \end{align*}\]

7 \(\alpha:=a+bi\) とし、\(\beta:=-a-bi\) とすると、\(\alpha+\beta=(a+bi)+(-a-bi)=0\) となる。 さらに、\(\alpha+\beta^\prime=0\) となるような\(\beta^\prime\) について\(\beta^\prime=\beta^\prime+\alpha+\beta=\beta\) を得る。 したがって、additive inverse は一意である。

8 multiplicative inverse の存在は、Exercise 1.A.1 で示した。 \(\alpha\in\mathbb{C}\) に対する2 つのmultiplicative inverses \(\beta,\beta^\prime\in\mathbb{C}\) について、\(\beta=\beta(\alpha\beta^\prime)=(\alpha\beta)\beta^\prime=\beta^\prime\) が成り立つ。したがって、multiplicative inverse は一意である。

9 \(\alpha:=a+bi\), \(\beta:=c+di\), \(\lambda:=e+fi\) とする。 \[\begin{align*} (e+fi)\left((a+bi)+(c+di)\right) &=(e+fi)\left((a+c)+(b+d)i\right)\\ &=ae+ce-bf-df+(af+cf+be+de)i\\ &=\left((ae-bf)+(af+be)i\right)+\left((ce-df)+(cf+de)i\right)\\ &=(e+fi)(a+bi)+(e+fi)(c+di). \end{align*}\]

10 \(x:=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4\) とする。 \((4,-3,1,7)+2x=(4+2x_1,-3+2x_2,1+2x_3,7+2x_4)=(5,9,-6,8)\) を満たすには、\(x_1=1/2\), \(x_2=6\), \(x_3=-7/2\), \(x_4=1/2\) とすればよい。

11 \(\lambda:=a+bi\) とすると、\(\lambda(2-3i,5+4i,-6+7i)=(2a+3b+(-3a+2b)i,5a-4b+(4a+5b)i,-6a-7b+(-6a+7b)i)\) となる。 したがって、第1 成分より連立方程式\(2a+3b=12\), \(-3a+2b=-5\) を解き、\(a=3\), \(b=2\) を得る。 しかしながら、第3成分より\(-6a+7b=-4\neq -9\) となり、矛盾を得る。

12 List \(x\in\mathbb{F}^n\) の第\(j\) 成分を\((x)_j\) で表す(以降、Exercise 1.A.16 まで同じ)。 \(j=1,2,\ldots,n\) に対して、\(((x+y)+z)_j=(x+y)_j+z_j=x_j+y_j+z_j=x_j+(y_j+z_j)=(x+(y+z))_j\) を得る。

13 \(j=1,2,\ldots,n\) に対して、\(((ab)x)_j=(ab)x_j=a\cdot bx_j=a(bx)_j=(a(bx))_j\) を得る。

14 \(j=1,2,\ldots,n\) に対して、\((1x)_j=1x_j=x_j=(x)_j\) を得る。

15 \(j=1,2,\ldots,n\) に対して、\((\lambda(x+y))_j=\lambda(x+y)_j=\lambda(x_j+y_j)=\lambda x_j+\lambda y_j=(\lambda x)_j+(\lambda y)_j\) を得る。

16 \(j=1,2,\ldots,n\) に対して、\(((a+b)x)_j=(a+b)x_j=ax_j+bx_j=(ax)_j+(bx)_j\) を得る。

Exercises 1.B

1 Proposition 1.31 より、\(-(-v)=(-1)((-1)v)=1v=v\) を得る。

2 \(a\neq 0\) かつ\(v\neq 0\) を仮定すると、\(0\neq v=(1/a)(av)=0\) となり、矛盾を得る。

3 \(x:=(-1/3)v+(1/3)w\) とすると、\(v+3x=v+3((-1/3)v+(1/3)w)=v-v+w=w\) となるので、条件を満たす\(x\in V\) の存在性は示せた。 一意性については、いま\(x,x^\prime\in V\) がともに条件を満たすとすると、\(v+3x=v+3x^\prime\) となるが、この両辺に\(-v\) を足し、さらに両辺を\(1/3\) 倍すると、\(x=x^\prime\) を意味する。

4 空集合にはadditive identity が存在しない。

5 任意の\(v\in V\) に対して\(v+0=v\) であるならば、この両辺に\(-v\) を足して\(0v=0\) を得る。 逆に任意の\(v\in V\) に対して\(0v=0\) であるならば、\(v+0=v+0v=(1+0)v=v\) を得る。

6 \(\mathbb{R}\cup\{\infty\}\cup\{-\infty\}\)\(\mathbb{R}\) 上でのベクトル空間ではない。 なぜならば、\((\infty+\infty)+(-\infty)=\infty+(-\infty)=0\) であるが、\(\infty+(\infty+(-\infty))=\infty+0=\infty\) であるので、associativity を満たさない。

Exercises 1.C

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