arnip.org Kazuhiro HISHINUMA, DSc.

第1章 Riemann 積分

Measure, Integration & Real Analysis の章末問題答案

Exercises 1A

第1問 \(i\in\{1,2,\ldots,n\}\) とする。 このとき、 \[\begin{align*} \sup_{[x_{i-1}, x_i]}f &=\frac{1}{x_i-x_{i-1}}\left(U(f, P, [a, b])-\sum_{j\neq i}(x_j-x_{j-1})\sup_{[x_{j-1}, x_j]}f\right) \\ &\le\frac{1}{x_i-x_{i-1}}\left(L(f, P, [a, b])-\sum_{j\neq i}(x_j-x_{j-1})\inf_{[x_{j-1}, x_j]}f\right) \\ &=\inf_{[x_{i-1}, x_i]}f. \end{align*}\] よって\(f\) は定数関数。

第2問 \(M:=\min\{s-a, t-s, b-t\}/3\) とし、\(P_n:=\{a, s-M/n, s+M/n, t-M/n, t+M/n, b\}\ (n\in\mathbb{N})\) とする。 このとき、 \[\begin{align*} L(f, P_n, [a, b]) &= t-s-2M/n, \\ U(f, P_n, [a, b]) &= t-s+2M/n\quad(n\in\mathbb{N}) \end{align*}\] となる。 したがって、 \[\begin{align*} U(f, [a, b]) & \le\sup_{n\in\mathbb{N}}U(f, P_n, [a,b]) \\ & =t-s \\ & =\inf_{n\in\mathbb{N}}L(f, P_n, [a, b]) \\ & \le L(f, [a, b]) \end{align*}\] を得るので、\(f\)\([a, b]\) 上でRiemann 積分可能であり、\(\int_a^bf=t-s\) である。

第3問 \(\forall\epsilon>0,\exists P\subset[a, b]:U(f, P, [a, b])-L(f, P, [a, b])<\epsilon\Rightarrow f:\text{Riemann 積分可能}\) は明らか。 逆を示す。 \(f\) がRiemann 積分可能であるとし、\(\epsilon>0\) とする。 \(L(f, [a, b])=\int_a^bf\) より、\(\int_a^bf-\epsilon/2<L(f, P, [a, b])\) を満たす分割\(P\subset[a, b]\) が存在する。 同様に\(U(f, [a, b])=\int_a^bf\) より、\(U(f, Q, [a, b])<\int_a^bf+\epsilon/2\) を満たす分割\(Q\subset[a, b]\) が存在する。 したがって\(R:=P\cup Q\) とすると、 \[\begin{align*} U(f, R, [a, b]) - L(f, R, [a, b]) &\le U(f, Q, [a, b]) - L(f, P, [a, b]) \\ &< \epsilon \end{align*}\] を得る。

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Exercises 1B

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