arnip.org Kazuhiro HISHINUMA, DSc.

第1章 Riemann 積分

Measure, Integration & Real Analysis の章末問題答案

Exercises 1A

第1問 \(i\in\{1,2,\ldots,n\}\) とする。 このとき、 \[\begin{align*} \sup_{[x_{i-1}, x_i]}f &=\frac{1}{x_i-x_{i-1}}\left(U(f, P, [a, b])-\sum_{j\neq i}(x_j-x_{j-1})\sup_{[x_{j-1}, x_j]}f\right) \\ &\le\frac{1}{x_i-x_{i-1}}\left(L(f, P, [a, b])-\sum_{j\neq i}(x_j-x_{j-1})\inf_{[x_{j-1}, x_j]}f\right) \\ &=\inf_{[x_{i-1}, x_i]}f. \end{align*}\] よって\(f\) は定数関数。

第2問 \(M:=\min\{s-a, t-s, b-t\}/3\) とし、\(P_n:=\{a, s-M/n, s+M/n, t-M/n, t+M/n, b\}\ (n\in\mathbb{N})\) とする。 このとき、 \[\begin{align*} L(f, P_n, [a, b]) &= t-s-2M/n, \\ U(f, P_n, [a, b]) &= t-s+2M/n\quad(n\in\mathbb{N}) \end{align*}\] となる。 したがって、 \[\begin{align*} U(f, [a, b]) & \le\sup_{n\in\mathbb{N}}U(f, P_n, [a,b]) \\ & =t-s \\ & =\inf_{n\in\mathbb{N}}L(f, P_n, [a, b]) \\ & \le L(f, [a, b]) \end{align*}\] を得るので、\(f\)\([a, b]\) 上でRiemann 積分可能であり、\(\int_a^bf=t-s\) である。

第3問 \(\forall\epsilon>0,\exists P\subset[a, b]:U(f, P, [a, b])-L(f, P, [a, b])<\epsilon\Rightarrow f:\text{Riemann 積分可能}\) は明らか。 逆を示す。 \(f\) がRiemann 積分可能であるとし、\(\epsilon>0\) とする。 \(L(f, [a, b])=\int_a^bf\) より、\(\int_a^bf-\epsilon/2<L(f, P, [a, b])\) を満たす分割\(P\subset[a, b]\) が存在する。 同様に\(U(f, [a, b])=\int_a^bf\) より、\(U(f, Q, [a, b])<\int_a^bf+\epsilon/2\) を満たす分割\(Q\subset[a, b]\) が存在する。 したがって\(R:=P\cup Q\) とすると、 \[\begin{align*} U(f, R, [a, b]) - L(f, R, [a, b]) &\le U(f, Q, [a, b]) - L(f, P, [a, b]) \\ &< \epsilon \end{align*}\] を得る。

第4問 \(P,Q\subset[a,b]\) をpartition とする。 このとき、 \[\begin{align*} L(f,P,[a,b])+L(g,Q,[a,b]) &\le L(f+g,P\cup Q, [a,b]) \\ &\le L(f+g,[a,b]) \\ &\le U(f+g,[a,b]) \\ &\le U(f+g,P\cup Q, [a,b]) \\ &\le U(f,P,[a,b])+U(g,Q,[a,b]) \end{align*}\] が成り立つ。 上2 不等式について\(P, Q\) それぞれに対して上限を取り、また下2 不等式について\(P, Q\) それぞれに対して下限を取ると、 \[\begin{align*} \int_a^bf+\int_a^bg &\le L(f+g,[a,b]) \\ &\le U(f+g,[a,b]) \\ &\le \int_a^bf+\int_a^bg \end{align*}\] を得る。

第5問 \(\epsilon > 0\) とする。 Exercise 1A.3 より、\(U(f,P,[a,b])-L(f,P,[a,b])<\epsilon\) を満たすpartition \(P\subset[a,b]\) が存在する。 \[\begin{align*} U(-f,P,[a,b])-L(-f,P,[a,b]) &= \sum_{j=1}^n(x_j-x_{j-1})\sup_{[x_{j-1},x_j]}(-f)-\sum_{j=1}^n(x_j-x_{j-1})\inf_{[x_{j-1},x_j]}(-f) \\ &= -\sum_{j=1}^n(x_j-x_{j-1})\inf_{[x_{j-1},x_j]}f+\sum_{j=1}^n(x_j-x_{j-1})\sup_{[x_{j-1},x_j]}f \\ &= U(f,P,[a,b])-L(f,P,[a,b])<\epsilon \end{align*}\] を得る。 よって、Exercise 1A.3 より題意が示される。

第6問 数学的帰納法より、関数\(f,g\) がある一点\(u_0\in[a,b]\) でのみ異なる値をとる場合に、題意が成り立つことを示せばよい。 上下限の基本性質より、\(\lim_{n\to\infty}L(f,P_n,[a,b])=\lim_{n\to\infty}U(f,P_n,[a,b])=\int_a^bf\) となるpartition 列\(\{P_n\}\subset 2^{[a,b]}\) が存在する。 \(x_1^{(n)}:=\max\{a,u_0-1/2n|f(u_0)-g(u_0)|\}\), \(x_2^{(n)}:=\min\{a,u_0+1/2n|f(u_0)-g(u_0)|\}\) とすると、 \[\begin{align*} L(f,P_n,[a,b])-1/n & \le L(g,P_n\cup\{x_1^{(n)},x_2^{(n)}\},[a,b]) \\ & \le U(g,P_n\cup\{x_1^{(n)},x_2^{(n)}\},[a,b]) \\ & \le U(f,P_n,[a,b])+1/n \end{align*}\] が成り立つ。 よって、\(n\to\infty\) として、 \[\begin{align*} \int_a^bf\le L(g,[a,b])\le U(g,[a,b])\le\int_a^bf \end{align*}\] を得る。

第7問 \(f\) は有界関数であるので、\(\{L(f,P_k,[a,b])\}\) は上に有界な単調増加数列であり、\(\{U(f,P_k,[a,b])\}\) は下に有界な単調増加数列である。 したがって、両者は収束する。 \(\lim_{k\to\infty}L(f,P_k,[a,b])<L(f,[a,b])\) を仮定する。 \(\epsilon:=(L(f,[a,b])-\sup_{k\to\infty}L(f,P_k,[a,b]))/3\) とすると、\(L(f,[a,b])-\epsilon<L(f,P,[a,b])\) となるようなpartition \(P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\subset[a,b]\) が存在する。 いま、\(\lim_{k\to\infty}L(f,P_k,[a,b])=\sup_{k\in\mathbb{N}}L(f,P_k,[a,b])\) であることに注意すると、任意の\(k\in\mathbb{N}\) に対して\(L(f,P_k,[a,b])<L(f,P,[a,b])-\epsilon\) が成り立つ。 partition \(P\cup P_k\) よりも小さく評価される\(P_k\) のsubinterval はたかだか\(n\) 個であるので、\(L(f,P,[a,b])-n(\sup_{[a,b]}f-\inf_{[a,b]}f)/2^n\le L(f, P_k, [a,b])\) が成り立つ。 しかしながら、関数\(f\) の有界性より\(n/2^n<\epsilon/(\sup_{[a,b]}f-\inf_{[a,b]}f)\) を満たす\(n\in\mathbb{N}\) に対して矛盾を導く。 したがって、\(\lim_{k\to\infty}L(f,P_k,[a,b])=L(f,[a,b])\) である。 数列\(\{\{U(f,P_k,[a,b])\}\) についても同様に成り立つ。

第8問

第9問

第10問

第11問

第12問

第13問

第14問

Exercises 1B

戻る